Les presentamos la serie de entradas escritas por Temesgen Kindo, en el blog de COMSOL, dedicadas a la simulación y resolución de problemas variacionales con COMSOL Multiphysics

Temesgen nos pregunta ¿qué tienen en común las películas jabonosas, los cables de las catenarias y los haces de luz? Se comportan de forma que minimizan ciertos valores. Este tipo de problemas son frecuentes en los campos de las ciencias y la ingeniería como en biología, economía, teoría de la elasticidad, ciencia de materiales y procesado de imagen. Se pueden simular muchos de estos problemas utilizando las interfaces físicas incluidas en el software COMSOL Multiphysics®, pero en esta serie de entradas del blog nos mostrarán cómo resolver problemas variacionales utilizando las funcionalidades del modelado basado en ecuaciones.

Parte 1: Introduction to Modeling Soap Films and other variational problems
En esta parte se muestra cómo resolver problemas variacionales con restricciones sencillas utilizando la interfaz Weak Form PDE. Esta interfaz viene con la propia instalación de COMSOL Multiphysics. Puede aprender más sobre la forma débil en la siguiente entrada del blog.

En las siguientes entradas se muestra cómo añadir restricciones más sofisticadas, como restricciones de punto, distribuidas e integrales. La serie concluirá generalizando a dimensiones espaciales superiores, derivadas de mayor orden y campos múltiples.

Parte 2: Specifying Boundary Conditions and Constraints in Variational Problems
En este caso se muestran condiciones de contorno y restricciones más generales. También se muestra cómo implementar esas condicines de contorno y restricciones en COMSOL® utilizando el mismo problema variacional de la Parte 1: (la película jabonosa) — y la misma cantidad de matemáticas. Se procede con restricciones más sofisticadas y se utilizan multiplicadores de Lagrange multipliers para configurar problemas equivalentes sin restricciones.

Part 3: Methods for Dealing with Numerical Issues in Constraint Enforcement
En esta parte se hace enfoque especial en los aspectos numéricos de la aplicación de las restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es teóricamente exacto, sin embargo su uso en soluciones numéricas tiene algunas implicaciones. Se verán estas implicaciones y se mostrarán dos estrategias de mitigación: los métodos Lagrangiano aumentado y de penalización (optimización).

El método de multiplicadores de Lagrange funciona exactamente ... cuando funciona. Sin embargo es más sensible a los estimadores iniciales de la solución y puede convertirse en un problema potencialmente definido indefinido, necesitando el uso de resolvedores directos. Los métodos Lagrangiano aumentado y de penalización superan estos retos como intercambio para algunas violaciones de las restricciones.

Se desea forzar las restricciones exactamente, pero en problemas con inconsistencias o demasiadas restricciones se puede desear forzar las restricciones inexactamente para obtener alguna solución aproximada. En próximas entradas del blogs se discuitrán las restricciones de desigualdad. El método de multiplicadores de Lagrange viene con una desventaja extra para restricciones de desigualdad. Permanezca atento al blog de COMSOL.

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